Zadania z geometrii 1, 2022.¶

Zadanie 1. Wykazać, że jeśli $A,B,C$ są wierzchołkami trójkąta, to różne kombinacje afiniczne wierzchołków przedstawiają różne punkty płaszczyzny.

Zadanie 2. Przypuśćmy, że $A'$, $B'$. $C'$ leżą na prostych wyznaczonych przez boki trójkąta $ABC$, przy czym $A'$ leży na prostej wyznaczonej przez $BC$, $B'$ - na prostej $AC$ oraz $C'$ - na prostej $AB$. Przypuśćmy dodatkowo, ze żaden z punktów primowanych nie jest wierzchołkiem naszego trójkąta. Wykazać, że proste $AA'$, $BB'$, $CC'$ przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy

$$ \frac{\stackrel\longrightarrow{AC'}}{\stackrel\longrightarrow{BC'}}\cdot\frac{\stackrel\longrightarrow{CB'}}{\stackrel\longrightarrow{AB'}}\cdot\frac{\stackrel\longrightarrow{BA'}}{\stackrel\longrightarrow{CA'}}=-1. $$

Zadanie 3. Dano czworościan $A_1A_2A_3A_4$. Wyznacza on następujące proste:

  • proste przechodzące przez środki przeciwległych boków
  • proste wyznaczone przez pary wierzchołek, środek przeciwległej ściany

Wykazać, że wszystkie te proste mają punkt wspólny.

Wykazać ponadto, że jeśli czworościan jest regularny, to proste wyznaczone przez środki przeciwległych boków są wzajemnie prostopadłe.

Zadanie 4. Na nieważkiej płaszczyżnie w punktach $A_1, A_2, \ldots, A_k$ umieszczono punktowe masy $m_1, m_2, \ldots, m_k$. Jak wybrać punkt $M$ płaszczyzny, że po jej podparciu w $M$ pozostanie ona w równowadze?

Zadanie 5. W pewnym niezbyt rozległym państwie postanowiono zbudować nową stolicę. Chcą ją zbudować w miejscu, do którego średnio rzecz biorąc będzie obywatelom najbliżej. Czy możesz zaproponować sposób na wyznaczenie tego miejsca? (Rozwiązanie podał Hugon Steinhaus w Kalejdoskopie matematycznym.)

Zadanie 6. Sporządź notatkę wyjaśniającą, jak działa pompa Archimedesa.

Zadanie 7. Niech $v^0,\ldots, v^n$ będą wierzchołkami pewnego sympleksu w $\mathbb R^n$. Wykazać, że funkcja $\mathbb R^n \ni x\mapsto (\|x-v^0 \|, \| x-v^1\|, \ldots, \| x- v^n \|) \in \mathbb R^n$ jest różnowartościowa ($\| x \|$ oznacza normę wektora $x$).

Zadanie 8. Napisz równanie sfery w $\mathbb R^3$ o środku $c=(c_1,c_2,c_3)$ i promieniu $R$. Wykaż, że na każdym czworościanie można opisać sferę. Sformułuj analogiczne twierdzenie dla sympleksów w $\mathbb R^n$ i spróbuj je dowieść.

Zadanie 9. Niech $x^1,\ldots x^k$ oznaczają dowolne elementy $\mathbb R^n$. Niech $m_1, \ldots, m_k$ oznaczają dowolne liczby dodatnie. Wyznacz minimum funkcji $f(x)=\sum_{i=1}^k m_i\|x-x^i\|^2$, $x\in \mathbb R^n$.

Zadanie 10. Niech $A$ oznacza podzbiór płaszczyzny liczący co najwyżej trzy elementy. Wykaż, że

$$ \operatorname{rad} A \le \frac{\sqrt{3}} 3 \operatorname{diam} A. $$

W oparciu o twierdzenie Hellye'go wykaż, że powyższy wzór jest ważny dla wszelkich ograniczonych podzbiorów płaszczyzny (twierdzenie Junga).

In [ ]: