Zadanie 1. Wykazać, że jeśli $A,B,C$ są wierzchołkami trójkąta, to różne kombinacje afiniczne wierzchołków przedstawiają różne punkty płaszczyzny.
Zadanie 2. Przypuśćmy, że $A'$, $B'$. $C'$ leżą na prostych wyznaczonych przez boki trójkąta $ABC$, przy czym $A'$ leży na prostej wyznaczonej przez $BC$, $B'$ - na prostej $AC$ oraz $C'$ - na prostej $AB$. Przypuśćmy dodatkowo, ze żaden z punktów primowanych nie jest wierzchołkiem naszego trójkąta. Wykazać, że proste $AA'$, $BB'$, $CC'$ przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy
$$ \frac{\stackrel\longrightarrow{AC'}}{\stackrel\longrightarrow{BC'}}\cdot\frac{\stackrel\longrightarrow{CB'}}{\stackrel\longrightarrow{AB'}}\cdot\frac{\stackrel\longrightarrow{BA'}}{\stackrel\longrightarrow{CA'}}=-1. $$Zadanie 3. Dano czworościan $A_1A_2A_3A_4$. Wyznacza on następujące proste:
Wykazać, że wszystkie te proste mają punkt wspólny.
Wykazać ponadto, że jeśli czworościan jest regularny, to proste wyznaczone przez środki przeciwległych boków są wzajemnie prostopadłe.
Zadanie 4. Na nieważkiej płaszczyżnie w punktach $A_1, A_2, \ldots, A_k$ umieszczono punktowe masy $m_1, m_2, \ldots, m_k$. Jak wybrać punkt $M$ płaszczyzny, że po jej podparciu w $M$ pozostanie ona w równowadze?
Zadanie 5. W pewnym niezbyt rozległym państwie postanowiono zbudować nową stolicę. Chcą ją zbudować w miejscu, do którego średnio rzecz biorąc będzie obywatelom najbliżej. Czy możesz zaproponować sposób na wyznaczenie tego miejsca? (Rozwiązanie podał Hugon Steinhaus w Kalejdoskopie matematycznym.)
Zadanie 6. Sporządź notatkę wyjaśniającą, jak działa pompa Archimedesa.
Zadanie 7. Niech $v^0,\ldots, v^n$ będą wierzchołkami pewnego sympleksu w $\mathbb R^n$. Wykazać, że funkcja $\mathbb R^n \ni x\mapsto (\|x-v^0 \|, \| x-v^1\|, \ldots, \| x- v^n \|) \in \mathbb R^n$ jest różnowartościowa ($\| x \|$ oznacza normę wektora $x$).
Zadanie 8. Napisz równanie sfery w $\mathbb R^3$ o środku $c=(c_1,c_2,c_3)$ i promieniu $R$. Wykaż, że na każdym czworościanie można opisać sferę. Sformułuj analogiczne twierdzenie dla sympleksów w $\mathbb R^n$ i spróbuj je dowieść.
Zadanie 9. Niech $x^1,\ldots x^k$ oznaczają dowolne elementy $\mathbb R^n$. Niech $m_1, \ldots, m_k$ oznaczają dowolne liczby dodatnie. Wyznacz minimum funkcji $f(x)=\sum_{i=1}^k m_i\|x-x^i\|^2$, $x\in \mathbb R^n$.
Zadanie 10. Niech $A$ oznacza podzbiór płaszczyzny liczący co najwyżej trzy elementy. Wykaż, że
$$ \operatorname{rad} A \le \frac{\sqrt{3}} 3 \operatorname{diam} A. $$W oparciu o twierdzenie Hellye'go wykaż, że powyższy wzór jest ważny dla wszelkich ograniczonych podzbiorów płaszczyzny (twierdzenie Junga).